Das Schöne in der Mathematik

Im Zuge der philosophischen und Debatten der letzten 30 Jahre sind Theorien des Schönen und philosophisch inspirierte Theorien medialer Erfahrungen zunehmend in den Vordergrund gerückt.
Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

So 30. Jun 2024, 14:51

Mein erster und bisher einziger eigener Beitrag in diesem Forum ist ein blog zum Schönen in der Musik. Dabei ging es mir nicht darum, sich auszutauschen darüber, was einem gefällt, das geschieht hier ohnehin ausgiebig an anderer Stelle, sondern ich wollte Argumente sammeln, was wir warum in einem objektivierten Sinn als schön erkennen. Daß es diese objektive Schönheit gibt, daran kann kein Zweifel bestehen, denn es ließe sich nicht erklären, wieso so viele unterschiedliche Menschen zu dem gleichen Urteil kommen und auf gleiche Weise emotional stark reagieren.

Unser Schönheitsempfinden wird jedoch auch von ganz anderem angesprochen als von einer musikalischen Aufführung, einem gemalten Bild oder einem gehörten oder gelesenen Text. In einem parallelen Thread wird über die Schönheit von Blumen, allgemeiner von Naturphänomenen diskutiert, es gibt offensichtlich neben dem Kunstschönen auch ein Naturschönes, es sollte geklärt werden, ob wir hier einen Begriff für zwei verschiedene Dinge benutzen, oder ob es eine Überschneidung gibt.

Ich möchte hier ein Drittes besprechen, das nicht so selbstverständlich gegeben ist wie das Natur- und Kunstschöne, nur wenige Menschen machen diese Erfahrung, weil nur wenige sich intensiv mit Mathematik beschäftigen, und ich bezweifle sogar, daß alle Mathematiker sie machen. Aber es sind genug, so daß gesagt werden kann, es ist eine objektive Erfahrung. Ich möchte hier über das Schöne in der Mathematik reden. Dabei werden sich Parallelen zur Musik ergeben, was kaum verwundern kann, Musik und Mathematik beruhen trotz gewaltige Unterschiede (Musik ist die Sprache des Gefühls, Mathematik die der Eiswüste der Abstraktion) gleichermaßen auf strukturalem Fühlen und Denken und es gibt, wie neueste Forschungen gezeigt haben, eine starke Vernetzung von musikalischer und mathematischer Strukturverarbeitung.

Die Richtigkeit und daher gegebenenfalls auch die Schönheit mathematischer Aussagen kann evident sein, dann spricht man von trivial, oder sie muß bewiesen werden. Wenn man ein Kriterium der Schönheit, die mehr im "wie" als im "was" liegt, darin sieht, eine Sache so komplex wie nötig, aber so einfach wie möglich auszudrücken, kann man von der Schönheit mathematischer Axiomensysteme reden, denn in ihnen wird eine unüberschaubar-unendliche Menge wahrer Aussagen auf eine kleine (endliche) Zahl diese Aussagen generierender Basisaussagen (Grundannahmen) zurückgeführt, die einen hohen Evidenzcharakter haben. In meinem Musikblog haben wir von der Verstehfreude beim Realisieren der Schönheit geredet. Das finden wir hier auch. Die Mathematik generiert ein Wissenssystem, ein System immer komplexerer beweisbarer Aussagen, wie die Musik aus Grundelementen stimmige komplexe Gestalten, Hörbilder, Sonaten, Symphonien, Opern malt.

Ich möchte hier aber auf eine spezifischere Analogie hinaus, eine Anwendung des vorher beschriebenen ästhetischen Prinzips "so komplex wie nötig, so einfach wie möglich" auf einer zweiten Stufe, nicht nur die Rückführbarkeit auf Einfaches, sondern die Suggestivität der Frage "warum so und nicht anders". Also im Falle der Musik: warum erscheint der Aufbau eines Musikstückes, also die harmonische, melodische und rhythmische Entwicklung als notwendig, richtig und nicht bloß zufällig kombiniert. Im Fall der Mathematik überträgt sich die Frage nach der Suggestivität einer mathematischen Formel auf die Suggestivität eines mathematischen Beweises, und diese hängt ab von der Schönheit des Beweises: "vollständig, aber so einfach wie möglich". Suchen wir also die "Verstehfreude" in mathematischen Beweisen.

Ich hatte anläßlich der Pisastudien einmal mit Lehrern über das Mathematiklernen, das auf der Basis von Lernfreude stattfinden sollte, diskutiert, da ging es um geometrische Beweise, darauf komme ich vielleicht in der Diskussion, falls sich hier eine entwickelt, zurück. Ansetzen möchte ich anders. Vor kurzem bin ich, ich weiß gar nicht mehr, in welchem Zusammenhang, auf ein spitzwinkliges Dreieck mit eingezeichneten Höhen gestoßen, und wie es meinem deformierten Mathematikerblick entspricht, habe ich mir sofort die Frage gestellt, warum schneiden sich die Höhen eigentlich in einem Punkt. Wahrscheinlich weiß das mancher noch aus dem Schulunterricht, aber warum nur? Es muß eine einfache Erklärung dafür geben. Ich habe aber eine ganze Weile gegrübelt, wie man's beweisen kann, und einfach keine elegante, suggestive Erklärung gefunden. Selbstverständlich gibt es einen sehr leichten pedantischen Beweis, die Idee hatte ich sofort, aber ich war nicht zufrieden damit. Irgendwann habe ich aufgegeben und die Schwarmintelligenz des Netzes befragt, genauer: die professionellen Schulhelfer, und festgestellt, da gibt es meine pedantische Lösung überhaupt nicht, da wird eine ganz andere angeboten, die ist zwar verblüffend umweghaft, aber wunderschön.

Wenn Interesse besteht, hier können einem die Augen für Mathematik geöffnet werden. Man schlage nicht im Netz nach, sondern versuche es erst einmal selber. Ich vermute, daß alle auf meine pedantische Lösung kommen werden, vielleicht gibt es auch noch Varianten dazu. Vermutlich wird man keinen eleganten Beweis zustandebringen. Bevor man jedoch den Schluß zieht, Mathematik ist langweilig, trocken, witzlos, schaue man sich diesen Beweis an, den ich am Ende der Diskussion vorstellen werde, mit meinem pedantischen als Kontrast. Dieser Schönheitserfahrung wird man sich nicht entziehen können.




Timberlake
Beiträge: 1815
Registriert: Mo 16. Mai 2022, 01:29
Wohnort: Shangrila 2.0

So 30. Jun 2024, 15:57

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 14:51

Ich hatte anläßlich der Pisastudien einmal mit Lehrern über das Mathematiklernen, das auf der Basis von Lernfreude stattfinden sollte, diskutiert, da ging es um geometrische Beweise, darauf komme ich vielleicht in der Diskussion, falls sich hier eine entwickelt, zurück.
.. du sagst es, Mathematik sollte auf Basis von Lernfreude stattfinden. Lernfreude , wie sie zweifelsohne für das Schöne in der Mathematik stehen "sollte" . Nur warum steht dergleichen , weil im Konjunktiv formuliert , lediglich im Bereich des Möglichen? Schließt doch dieses sollte Bereiche des Möglichen mit ein , die man so ganz und gar nicht mit Lernfreude , geschweige denn mit dem Schönen in der Mathematik verknüpfen sollte.
Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 14:51

Wenn Interesse besteht, hier können einem die Augen für Mathematik geöffnet werden. Man schlage nicht im Netz nach, sondern versuche es erst einmal selber. Ich vermute, daß alle auf meine pedantische Lösung kommen werden, vielleicht gibt es auch noch Varianten dazu. Vermutlich wird man keinen eleganten Beweis zustandebringen. Bevor man jedoch den Schluß zieht, Mathematik ist langweilig, trocken, witzlos, schaue man sich diesen Beweis an, den ich am Ende der Diskussion vorstellen werde, mit meinem pedantischen als Kontrast. Dieser Schönheitserfahrung wird man sich nicht entziehen können.
Insofern ich übrigens bezweifeln würde, dass man sich dieser Schönheitserfahrung , deines am Ende der Diskussion vorgestellten Beweises , sich nicht wird entziehen können. Welches als solches , mit wird , ganz sicher nicht in einer Möglichkeitsform steht.

Somit ich korrigiere ... "Dieser Schönheitserfahrung sollte man sich nicht entziehen können."




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

So 30. Jun 2024, 17:07

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 14:51
... warum schneiden sich die Höhen eigentlich in einem Punkt.
Wo in diesem Satz liegt die Betonung? Auf "schneiden" oder auf "einem"?

Also: Warum schneiden sie sich? Oder: Warum nur an einem und nicht an vielen?

Als alter Navigator würde ich sagen, dass zwei nichtparallele Kurse auf einer Globusoberfläche sich mehrmals kreuzen können :-)




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

So 30. Jun 2024, 18:58

Timberlake hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 15:57
Schließt doch dieses sollte Bereiche des Möglichen mit ein , die man so ganz und gar nicht mit Lernfreude , geschweige denn mit dem Schönen in der Mathematik verknüpfen sollte.
Nicht alles lernen macht Spaß. Aber wir besitzen ein Selbstbelohnungssystem, Verstehen kann glücklich machen, und das gilt besonders, wo sich völliges Unverständnis überraschend in Einsicht wandelt. Die Mühen der Anstrengung müssen natürlich in einem angemessenen Verhältnis zum Erfolg stehen, es darf zu keiner Überforderung kommen. Kinder sind zwar sehr lernbegierig, scheuen kaum Mühen, aber sie brauchen auch Erfolgserlebnisse. Und das ist nicht viel anders bei Erwachsenen. Aber welche Mühen nehmen wir auf uns, einen hohen, schroffen Berg zu besteigen - für das kleine Gipfelglück. Die Gesellschaft muß vernünftig steuern zu einem intrinsischen Leistungsbedürfnis.

Bei den Foristen, die sich auf dieses kleine individuelle Experiment einlassen, bin ich sicher, daß sie die elegante Lösung der Aufgabe genießen können. Keine Ahnung, ob sich überhaupt jemand darauf einläßt.




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

So 30. Jun 2024, 19:00

Quk hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 17:07

Wo in diesem Satz liegt die Betonung? Auf "schneiden" oder auf "einem"?
Bitte nicht verkomplizieren. Ein einfaches Problem der euklidschen Geometrie. Die leichtere Frage ist, ob sie sich schneiden, aber gemeint ist hier selbstverständlich, ob in einem Punkt.




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

So 30. Jun 2024, 19:11

Danke. Für mich war das nicht selbstverständlich. Ich bin kein Mathe-Profi. Ich wollte die Frage nicht ver-, sondern ent-komplizieren.

Nun denn, ich weiß keine Antwort. Ich habe mathematische Beweise eigentlich schon in der Schule nie verstanden, weil sie mir so tautologisch vorkamen.




Timberlake
Beiträge: 1815
Registriert: Mo 16. Mai 2022, 01:29
Wohnort: Shangrila 2.0

So 30. Jun 2024, 22:52

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 18:58
Timberlake hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 15:57
Schließt doch dieses sollte Bereiche des Möglichen mit ein , die man so ganz und gar nicht mit Lernfreude , geschweige denn mit dem Schönen in der Mathematik verknüpfen sollte.
Nicht alles lernen macht Spaß. Aber wir besitzen ein Selbstbelohnungssystem, Verstehen kann glücklich machen, und das gilt besonders, wo sich völliges Unverständnis überraschend in Einsicht wandelt. Die Mühen der Anstrengung müssen natürlich in einem angemessenen Verhältnis zum Erfolg stehen, es darf zu keiner Überforderung kommen.
Du sagst es .. es darf zu keiner Überforderung kommen und wer wäre nicht schon , angesichts einer vergeigten Mathematikklausur , eben damit konfrontiert worden. Insbesondere wenn es darum geht, wie in meinen Fall , während dessen reine Textaufgaben in einen Mathematik zu übersetzen, mit der sich diese Textaufgabe mathematisch lösen lässt. Das Schöne in der Mathematik fand ich zumeist jenseits dessen . So zusagen bei der reinen Form. Wie die Kraft eines Muskel , der nicht mehr trainiert wurde , so ist übrigens sehr vieles von diesem Schönen heute bei mir nicht mehr abrufbar.
Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 18:58

Bei den Foristen, die sich auf dieses kleine individuelle Experiment einlassen, bin ich sicher, daß sie die elegante Lösung der Aufgabe genießen können. Keine Ahnung, ob sich überhaupt jemand darauf einläßt.
Somit ich einmal davon ausgehe , dass mich dieses kleine individuelle Experiment tatsächlich überfordern wird. Im Grunde genommen befinde ich mich diesbezüglich auf den Stand eines Fünfklässers. Wenn es denn tatsächlich das Schöne in der Mathematik gibt, wie konnte es dann zu einem solchen Abbau kommen? Warum habe ich mich als solches , wohlgemerkt im Gegensatz zum Schönen in der Musik, damit nicht selbst belohnt? Oder anders gefragt , wenn doch beides schön ist , warum belohne ich mich seit meiner Jugend mit dem Spiel einer Gitarre und eben nicht mit dem Lesen irgendwelcher Mathematikbücher.
Wolfgang Endemann hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 14:51

Unser Schönheitsempfinden wird jedoch auch von ganz anderem angesprochen als von einer musikalischen Aufführung, einem gemalten Bild oder einem gehörten oder gelesenen Text. In einem parallelen Thread wird über die Schönheit von Blumen, allgemeiner von Naturphänomenen diskutiert, es gibt offensichtlich neben dem Kunstschönen auch ein Naturschönes, es sollte geklärt werden, ob wir hier einen Begriff für zwei verschiedene Dinge benutzen, oder ob es eine Überschneidung gibt.
Somit ich einmal denke, dass wir diesen Begriff hier tatsächlich für zwei verschiedene Dinge benutzen sollten. Kann ich doch mit einer "schönen Musik" bereits bei einem Baby ein Lächeln ins Gesicht zaubern. Mit dem Vergegenwärtigen einer "schönen Mathematik" wird das wohl eher nicht gelingen.




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 11:09

Danke, Quk und Timberlake, daß Ihr Euch mit meinem Thema befaßt habt. Ich hoffe, daß der eine oder die andere hier noch mitliest. Bevor ich die Lösung der doch wohl zu knifflige Aufgabe angebe, möchte ich die zwei letzten Kommentare beantworten und mit erheblich vereinfachten Knobeleien bestücken, vielleicht kann ich mich damit verständlicher machen. Wenn dazu niemandem etwas einfällt, werde ich versuchen, zu erklären, welche Art von Schönheit mich am Höhensatzbeweis so fasziniert.




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 11:18

Quk hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 19:11
Ich habe mathematische Beweise eigentlich schon in der Schule nie verstanden, weil sie mir so tautologisch vorkamen.
Nun, es ist ein Unterschied, ob etwas tautologisch ist, oder ob es wirklich als tautologisch erkannt werden kann.

Vielleicht habe ich keine richtige Vorstellung davon, wie schlecht man in der Schule Mathematik lernt. Ich hätte zur Demonstration von mathematischer Schönheit ein einfacheres Beispiel nehmen sollen. Mit einem Hintergedanken formuliere ich einmal, wie man Begriffe bildet. ZB geometrische. Ich denke, irgendwann wird in der Schule erklärt, was ein Kreis ist: eine geschlossene Linie von allen Punkten, die von einem gemeinsamen Punkt, Mittelpunkt des Kreises genannt, gleichweit entfernt sind. Woraus sich dann ergibt, wie ich einen exakten Kreis zeichnen kann: ich nehme ein Seil, fixiere es im Mittelpunkt des gewünschten Kreises, verbinde das andere Ende des Seils mit einem Malstift und kann nun bei gespanntem Faden den Kreis malen; und dann lerne ich, daß es dafür ein Instrument gibt, den Zirkel, der das noch etwas genauer ausführen kann.
Dann zeichnet der Lehrer eine Linie von A nach B und fragt, wo liegen alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind. Ein erster Punkt muß in der Mitte der Strecke von A nach B liegen, M. Alle anderen Punkte müssen auf einer Geraden liegen, die senkrecht zu der Strecke steht und durch M geht. Das kann man beweisen durch die Ähnlichkeit der Dreiecke, die durch einen Punkt P der sekrechten Geraden und A, B und M gebildet werden. Nun kann man einen weiteren Punkt C nehmen, der nicht auf der Geraden durch A und B liegt, und man kann nach allen Punkten fragen, die von B und C gleichweit entfernt sind, das sind wie vorher für A und B konstruiert alle Punkte auf der Senkrechten Linie auf BC durch den Mittelpunkt N von BC. Lasse ich jetzt die Senkrechte auf AB mit der Senkrechten auf BC in dem Punkt Q schneiden, dann gilt für diesen Punkt und die Streckenlängen: AQ = BQ und BQ = CQ, also AQ = CQ (Transitivität der Gleichheitsrelation). Wenn ich also auf AC in der Mitte von AC die Senkrechte errichte und die Linie zeichne, auf der alle Punkte liegen, die von A und C gleichweit entfernt sind, geht diese Linie durch Q. Das ist der Satz, daß die Mittelsenkrechten in einem Dreieck sich in einem Punkt schneiden.

Ich finde das ein bißchen schön, die Klarheit und Reinheit dieser Gedanken, aber auch klar, daß man so nicht empfinden muß. Dieser Zusammenhang wird im eleganten Beweis eine Rolle spielen, aber ich lasse uns noch etwas Zeit, vielleicht findet ja doch noch jemand die Lösung. Also bitte ein wenig Geduld. Ich möchte am Ende wenigstens prüfen, ob man nachvollziehen kann, was eine schöne Lösung ist.




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 11:27

Timberlake hat geschrieben :
So 30. Jun 2024, 22:52
Das Schöne in der Mathematik fand ich zumeist jenseits dessen . So zusagen bei der reinen Form.
Stimmt. Zum Folgenden:
Das Schöne in der Mathematik ist nicht identisch mit dem Schönen in der Musik, denn letztere wird zunächst einmal emotional bearbeitet. Es gibt zwar die erstaunliche Nähe von musikalischer und mathematischer Strukturwahrnehmung, aber Musik wird nicht als abstrakter Gegenstand erlebt, im Gegenteil. Bei mathematischen Objekten ist es umgekehrt, sie werden zunächst als etwas ganz abstraktes, unvertrautes, kontraintuitives registriert, zu dem manche überhaupt keine Gefühle assoziieren können. Allerdings drängen sich bei der kognitiven Bearbeitung die Parallelen auf, was sich dann sehr deutlich in den Interpretationen physiologischer Untersuchungen zeigt, zeigen läßt.
Es ist etwas schiefgelaufen, wenn diese sekundären Verbindungen nicht mehr zustande kommen können. Hier wie schon im Vorkommentar versuche ich mit zusätzlichen Beispielen, für diese verborgene Schönheit zu sensibilisieren.

Ich würde zB Schulkindern eines bestimmten Alters, mich auf Kognitionsforschung stützend, folgende Aufgabe vorlegen: Der Vater von Fritz möchte, daß sein Sohn lernt, sparsam und klug mit Geld umzugehen. Er hatte sich bei der Bank hunderte von 5o-cent-Münzen besorgt, dem Sohn als eigene Sammlung präsentiert, und nun hat Fritz selbst zu sammeln angefangen und besitzt bereits 37 Münzen. Jetzt schlägt der Vater folgendes Spiel vor: es soll enden, wenn einer nicht mehr genug bezahlen kann, oder nach einer von Fritz bestimmten Schrittzahl, und es läuft so ab: der Vater gibt im ersten Schritt eine Münze, der Sohn gibt im zweiten Schritt zwei Münzen zurück, dann im dritten Schritt gibt der Vater drei Münzen, dann der Sohn vier, dann der Vater fünf usw. Begrenzt Fritz die Schrittzahl, darf er die Münzen behalten, wenn er richtig voraussagt, wieviele Münzen er dann hat. Sagt er das Ergebnis falsch voraus, wird das Spiel annuliert, Fritz hat nichts gewonnen, nur seine ursprünglichen 37 Münzen.
Ob das für Kinder eine spannende oder in irgend einem Sinn schöne Aufgabe ist, sei dahingestellt. Aber ihre einfache Lösung dürfte Verstehfreude auslösen. Schön an der Lösung ist, daß ich ein einfaches Bildungsgesetz für die Zahl der Münzen in Fritzens Sammlung angeben kann, sowohl für die Summenformel als auch den Endbetrag, daß man selbst bei einer riesigen Münzsammlung von Fritz und unbeschränkter Münzmenge beim Vater an der Lösungsformel unmittelbar ablesen kann, bei welcher Schrittzahl Fritz das Spiel beenden muß und wie hoch dann sein Gewinn ist.
Ich gebe ein weiteres Beispiel, eine Aufgabe, die wie fast alle Kontextualisierungen von mathematischen Problemen etwas albern ist, aber Schönheit hängt nicht an dem Gebrauchswert der Problemlösung, sondern an ihrer Eleganz, Gewitztheit, usw. Die Aufgabe erinnert an ein Kinderspiel oder an Monk, den sympathischen Zwangscharakter aus einer amerikanischen Fernsehserie. Gegeben ein rechteckiges mit m·n quadratischen Fliesen gepflastertes Feld. Man betritt eine erste Randfliese und hat die Möglichkeit, sich Schritt für Schritt vorwärts zu bewegen auf die anliegende Fliese vorne oder die anliegende rechts oder die anliegende links. Nun soll man das Feld so begehen, daß man jedes Quadrat des Feldes genau einmal betritt und an einer bestimmten Stelle das Feld wieder verläßt. Ist das immer möglich? Man beachte, daß m und n riesige Zahlen sein können. Trotzdem ist die Frage ganz einfach zu beantworten, läßt sich auf einen einfachen arithmetischen Sachverhalt zurückführen. Viel Spaß mit der Aufgabe.




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 12:08

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 11:18
Wenn ich also auf AC in der Mitte von AC die Senkrechte errichte und die Linie zeichne, auf der alle Punkte liegen, die von A und C gleichweit entfernt sind, geht diese Linie durch Q. Das ist der Satz, daß die Mittelsenkrechten in einem Dreieck sich in einem Punkt schneiden.

Ich finde das ein bißchen schön, die Klarheit und Reinheit dieser Gedanken, aber auch klar, daß man so nicht empfinden muß.
Freust Du Dich speziell darüber, dass in einer zunächst komplizierten Angelegenheit eine Klarheit aufscheint? Sind Deine Empfindungen während einer solchen Erkenntnis oder solchen Wiederbetrachtung näher beschreibbar? Zum Beispiel, ist es die bloße Verblüffung? Oder ist es auch der Wunsch nach einer Vereinfachung des Komplizierten? Oder ist es die musikalische Harmonie in den verschachtelten Dreiecken, wobei durch jene Musik die Dreiecke zu Emotionalitäten werden? Oder ...?




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 12:18

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 11:27
Man betritt eine erste Randfliese und hat die Möglichkeit, sich Schritt für Schritt vorwärts zu bewegen auf die anliegende Fliese vorne oder die anliegende rechts oder die anliegende links. Nun soll man das Feld so begehen, daß man jedes Quadrat des Feldes genau einmal betritt und an einer bestimmten Stelle das Feld wieder verläßt. Ist das immer möglich? Man beachte, daß m und n riesige Zahlen sein können. Trotzdem ist die Frage ganz einfach zu beantworten, läßt sich auf einen einfachen arithmetischen Sachverhalt zurückführen. Viel Spaß mit der Aufgabe.
Ja, immer möglich. In abstrakten Fragen bin ich schlecht, in räumlichen bin ich gut. Ich habe keine Ahnung, wie man das "arithmetisch" zu beweisen hat; ich habe nur das Bild im Kopf, und das gibt mir schlagartig die Antwort: Ja :-)

(Bauern mit ihren Mähmaschinen kehren auch immer zurück zum Ausgangspunkt, ohne Leerräume zu hinterlassen und Teile mehrmals zu überfahren.)




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 13:11

Quk hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 12:08


Ich finde das ein bißchen schön, die Klarheit und Reinheit dieser Gedanken, aber auch klar, daß man so nicht empfinden muß.
Freust Du Dich speziell darüber, dass in einer zunächst komplizierten Angelegenheit eine Klarheit aufscheint? ....
[/quote]

Gute Fragen. Ich würde sagen, alle diese Aspekte spielen hinein. Jedenfalls bringt Strukturdenken Ordnung in unüberschaubare Sachverhalte, und das löst ein Glücksgefühl aus: Verstehfreude, das war doch Dein Begriff, wenn ich mich recht erinnere. Wobei sich kaum unterscheiden dürfte, ob es das Verstehen der Ordnung oder das Verstehen einer Unvereinbarkeit mit Ordnung ist. So wie in der Musik das Wiedererkennen eines Musters oder die überraschende Abweichung, Harmonie oder Dissonanz, ein mitreißender Rhythmus oder ein raffiniertes Verstolpern.




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 13:15

Quk hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 12:18

Ja, immer möglich.
Da siehst Du, daß man sich nicht auf seine integrale Wahrnehmung verlassen kann. Die Antwort ist nämlich falsch. Gegenbeispiel: Ein 3·4-Feld, ich betrete es an der Ecke links oben und will es nicht an der Ecke rechts unten, sondern auf dem anliegenden Quadrat verlassen. Ich bezeichne mal sämtliche Fliesen:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
Ich beginne bei 1 und will bei 11 das Gesamtfeld verlassen. Hier gibt es eine überschaubare Zahl von Möglichkeiten, über das Gesamtfeld zu ziehen, aber keine, in der alle Einzelfelder ohne Wiederholung beschritten werden und ich bei 11 das Gesamtfeld verlasse.
Deine Vorstellung hat Dich getrogen.
Und genau dafür gibt es einen federleichten Beweis, und zwar für alle möglichen Seitenlängen m und n, der freilich nicht unmittelbar intuitiv einsehbar ist. Das würde ich schön nennen. willst Du es selbst noch einmal versuchen, oder soll ich die Lösung nennen?




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 13:20

PS. Ich kann leider das Feld nicht so beschreiben, daß die untere Zeile zu den darüberstehenden paßt.




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 13:57

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 13:11
Verstehfreude, das war doch Dein Begriff, wenn ich mich recht erinnere.
Ich habe das gerade im Google überprüft. "Verstehfreude" wird tatsächlich nur im Dialogos-Forum erwähnt. Ja, das kommt wohl von mir :-)




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 14:05

Wolfgang Endemann hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 13:11
Wobei sich kaum unterscheiden dürfte, ob es das Verstehen der Ordnung oder das Verstehen einer Unvereinbarkeit mit Ordnung ist. So wie in der Musik das Wiedererkennen eines Musters oder die überraschende Abweichung, Harmonie oder Dissonanz, ein mitreißender Rhythmus oder ein raffiniertes Verstolpern.
Stimmt. Die Seltsamkeit hat auch ihren Reiz. Für viele Menschen ist sie attraktiv.




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 14:17

Hast natürlich recht. Ich habe meinen bildlichen Schnappschuss allzu schnell verallgemeinert :-)
Wolfgang Endemann hat geschrieben :
Di 2. Jul 2024, 13:15
Und genau dafür gibt es einen federleichten Beweis, und zwar für alle möglichen Seitenlängen m und n, der freilich nicht unmittelbar intuitiv einsehbar ist. Das würde ich schön nennen. willst Du es selbst noch einmal versuchen, oder soll ich die Lösung nennen?
Ich bitte um die Lösung.

Übrigens, Du kannst die Code-Tags anklicken oben, der fünfte Button rechts nach Bold, Italic etc.

Code: Alles auswählen

 7  8  9
10 11 12
13 14 15




Wolfgang Endemann
Beiträge: 435
Registriert: Di 23. Apr 2024, 14:30

Di 2. Jul 2024, 18:42

Das erste, was auffällt, wenn man logisch über das Problem nachdenkt, ist, daß es in der Aufgabenstellung eine etwas unbestimmte Bedingung gibt, das Gesamtfeld hat n·m Einzelfelder, was eine gerade oder ungerade Felderzahl bedeuten kann, gerade, wenn mindestens eine Zahl, n oder m gerade ist, sonst ungerade. Nun kann man die Felder so beschreiten, daß man in jedem Schritt den Fuß wechselt. Dann kann ich das Gesamtfeld schachbrettartig in schwarze und weiße Felder aufteilen so, daß jedes Feld einer Farbe von vier Nachbarfeldern der Gegenfarbe eingerahmt wird. Wenn ich das Gesamtfeld mit dem einen Fuß betrete und dieses Feld mit schwarz markiere, kann ich die anderen Felder nur mit dem durch das eine Feld festgelegten Schachbrettmuster begehen, also alle schwarzen Felder mit dem Fuß, mit dem ich das Gesamtfeld betreten habe, alle weißen Felder mit dem anderen Fuß.
Wenn n·m gerade, muß ich mit dem Gegenfuß die letzte Fliese begehen, das geht nur, wenn diese weiß ist. Ist n·m ungerade, ist es umgekehrt, ich kann das Gesamtfeld nur verlasse auf einem schwarzen Endfeld. Ist im ersten Fall das Endquadrat schwarz, oder im zweiten weiß, kann es keine Lösung geben. Nicht gesagt ist damit, ob und ob immer im anderen Fall eine Lösung möglich ist. Und das tolle an der Lösung: Ich kann beginnend vom Anfangsfeld die Randfelder abzählen und weiß, ob die Zahl bis zu dem Endfeld eine gerade oder eine ungerade ist. Daher weiß ich, ob sie schwarz (wenn das Endfeld eine gerade Zahl von Randfeldern entfernt ist) oder weiß ist.
Für die Lösung der Aufgabe braucht man überhaupt nichts ausprobieren, ist das ncht schön?




Benutzeravatar
Quk
Beiträge: 2496
Registriert: So 23. Jul 2023, 15:35

Di 2. Jul 2024, 19:49

Aha.

Schön :-)




Antworten